Возрастающая или убывающая числовые последовательности называются монотонными
.
Оганесян Ева
Числовые последовательности. Реферат.
Скачать:
Предварительный просмотр:
Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение
«Средняя общеобразовательная школа №31»
города Барнаула
Числовые последовательности
Реферат
Работу выполнила:
Оганесян Ева,
ученица 8 г класса МБОУ «СОШ №31»
Руководитель:
Полева Ирина Александровна,
учитель математики МБОУ «СОШ №31»
Барнаул - 2014
Введение………………………………………………………………………2
Числовые последовательности.……………………………………………...3
Способы задания числовых последовательностей………………………...4
Развитие учения о прогрессиях……………………………………………..5
Свойства числовых последовательностей…………………………………7
Арифметическая прогрессия……………………………..............................9
Геометрическая прогрессия……………………………………………….10
Заключение …………………………………………………………………11
Список литературы…………………………………………………………11
Введение
Цель настоящего реферата
– изучение основных понятий, связанных с числовыми последовательностями, их применение на практике.
Задачи:
- Изучить исторические аспекты развития учения о прогрессиях;
- Рассмотреть способы задания и свойства числовых последовательностей;
- Познакомиться с арифметической и геометрической прогрессиями.
В настоящее время числовые последовательности рассматриваются как частные случаи функции. Числовая последовательность есть функция натурального аргумента. Понятие числовой последовательности возникло и развилось задолго до создания учения о функции. Вот примеры бесконечных числовых последовательностей, известных еще в древности:
1, 2, 3, 4, 5, … - последовательность натуральных чисел.
2, 4, 6, 8, 10,… - последовательность чётных чисел.
1, 3, 5, 7, 9,… - последовательность нечётных чисел.
1, 4, 9, 16, 25,… - последовательность квадратов натуральных чисел.
2, 3, 5, 7, 11… - последовательность простых чисел.
1, ½, 1 /3, ¼, 1 /5,… - последовательность чисел обратных натуральным.
Число членов каждого из этих рядов бесконечно; первые пять последовательностей - монотонно возрастающие, последняя - монотонно убывающая. Все перечисленные последовательности, кроме 5-й, являются заданными ввиду того, что для каждой из них известен общий член, т. е. правило получения члена с любым номером. Для последовательности простых чисел общий член неизвестен, однако еще в III в. до н. э. александрийский ученый Эратосфен указал способ (правда, очень громоздкий) получения n-го ее члена. Этот способ был назван «решетом Эратосфена».
Прогрессии - частные виды числовых последовательностей - встречаются в памятниках II тысячелетия до н. э.
Числовые последовательности
Существуют различные определения числовой последовательности.
Числовая последовательность
–
это последовательность элементов числового пространства (Википедия).
Числовая последовательность
–
это занумерованное числовое множество.
Функцию вида y = f (x), x
называют функцией натурального аргумента или
числовой последовательностью
и обозначают y = f (n) или
,
,
, …,
Для обозначения последовательности используется запись ().
Будем выписывать в порядке возрастания положительные чётные числа. Первое такое число равно 2, второе – 4, третье – 6, четвёртое – 8 и т.д., таким образом мы получим последовательность: 2; 4; 6; 8; 10 ….
Очевидно, что на пятом месте в этой последовательности будет число 10, на десятом число – 20, на сотом число – 200. вообще для любого натурального числа n можно указать соответствующее ему положительное чётное число; оно равно 2n.
Рассмотрим ещё одну последовательность. Будем выписывать в порядке убывания правильные дроби с числителем, равным 1:
;
;
;
;
; … .
Для любого натурального числа n мы можем указать соответствующую ему дробь; она равна
. Так, на шестом месте должна стоять дробь
, на тридцатом -
, на тысячном – дробь
.
Числа, образующие последовательность, называют соответственно первым, вторым, третьим, четвёртым и т.д. членами последовательности. Члены последовательности обычно обозначают буквами с индексами, указывающими порядковый номер члена. Например:
,
,
и т.д. вообще член последовательности с номером n, или, как говорят, n-й член последовательности, обозначают
. Саму же последовательность обозначают (). Последовательность может содержать, как бесконечное число членов, так и конечное. В этом случае её называют конечной. Например: последовательность двухзначных чисел.10; 11; 12; 13; …; 98; 99
Способы задания числовых последовательностей
Последовательности можно задавать несколькими способами.
Обычно последовательность целесообразнее задавать
формулой ее общего n-го члена
, которая позволяет найти любой член последовательности, зная его номер. В этом случае говорят, что последовательность задана
аналитически.
Например: последовательность положительных чётных членов
=2n.
Задача:
найти формулу общего члена последовательности (:
6; 20; 56; 144; 352;…
Решение. Запишем каждый член последовательности в следующем виде:
n=1:
6 = 2
3 =
3 =
n=2:
20 = 4
5 =
5 =
n=3:
56 = 8
7 =
7 =
Как видим, члены последовательности представляют собой произведение степени двойки, умноженной на последовательные нечетные числа, причем два возводится в степень, которая равна номеру рассматриваемого элемента. Таким образом, делаем вывод, что
Ответ: формула общего члена:
Другим способом задания последовательности является задание последовательности с помощью
рекуррентного соотношения
.
Формулу, выражающую любой член последовательности, начиная с некоторого через предыдущие (один или несколько), называют
рекуррентной
(от латинского слова recurro – возвращаться).
В этом случае задается один или несколько первых элементов последовательности, а остальные определяются по некоторому правилу.
Примером рекуррентно заданной последовательности является последовательность чисел Фибоначчи - 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, ... , в которой каждое последующее число, начиная с третьего, является суммой двух предыдущих: 2 = 1 + 1; 3 = 2 + 1 и так далее. Данную последовательность можно задать рекуррентно:
N
N,
= 1.
Задача:
последовательность
задана при помощи рекуррентного соотношения
+
, n
N,
= 4. Выписать несколько первых членов этой последовательности.
Решение. Найдем третий член заданной последовательности:
+
=
И т.д.
При рекуррентном задании последовательностей, получаются очень громоздкими выкладки, так как, чтобы найти элементы с большими номерами, необходимо найти все предыдущие члены указанной последовательности, например, для нахождения
надо найти все предыдущие 499 членов.
Описательный способ
задания числовой последовательности состоит в том, что объясняется, из каких элементов строится последовательность.
Пример 1 . «Все члены последовательности равны 1». Это значит, речь идет о стационарной последовательности 1, 1, 1, …, 1, ….
Пример 2. «Последовательность состоит из всех простых чисел в порядке возрастания». Таким образом, задана последовательность 2, 3, 5, 7, 11, …. При таком способе задания последовательности в данном примере трудно ответить, чему равен, скажем, 1000-й элемент последовательности.
Так же числовую последовательность можно задать простым
перечислением её членов.
Развитие учения о прогрессиях
Слово прогрессия латинского происхождения (progressio), буквально означает «движение вперёд» (как и слово «прогресс») и встречается впервые у римского автора Боэция (V-VIв в.), первоначально под прогрессией понимали всякую числовую последовательность, построенную по закону, позволяющему неограниченно продолжать её в одном направлении, например последовательность натуральных чисел, их квадратов и кубов. В конце средних веков и в начале нового времени этот термин перестаёт быть общеупотребительным. В XVII веке, например, Дж. Грегори употребляет вместо прогрессии термин «ряд», а другой видный английский математик, Дж. Валлис, применяет для бесконечных рядов термин «бесконечные прогрессии».
В настоящее время мы рассматриваем прогрессии как частные случаи числовых последовательностей.
Теоретические сведения связанные с прогрессиями, впервые встречаются в дошедших до нас документах Древней Греции.
В «Псаммите» Архимед впервые сопоставляет арифметическую и геометрическую прогрессии:
1,2,3,4,5,………………..
10,
,
………….
Прогрессии рассматривались как бы продолжением пропорций, вот почему эпитеты арифметическая и геометрическая были перенесены от пропорций к прогрессиям.
Такой взгляд на прогрессии сохранился и у многих математиков XVII и даже XVIIIв. Именно так следует объяснить тот факт, что символ встречающийся у Барроу, а затем и у других английских учёных того времени для обозначения непрерывной геометрической пропорции, стал обозначать в английских и французских учебниках XVIII века геометрическую прогрессию. По аналогии так стали обозначать и арифметическую прогрессию.
Одно из доказательств Архимеда, изложенное в его произведении «Квадратура параболы», сводится по существу к суммированию бесконечно убывающей геометрической прогрессии.
Для решения некоторых задач из геометрии и механики Архимед вывел формулу суммы квадратов натуральных чисел, хотя ею пользовались и до него.
1/6n(n+1)(2n+1)
Некоторые формулы, относящиеся к прогрессиям, были известны китайским и индийским учёным. Так, Ариабхатта (Vв.) знал формулы для общего члена, суммы арифметической прогрессии и др., Магавира (IX в.) пользовался формулой:
+
+
+ ... +
= 1/6n(n+1)(2n+1) и другими более сложными рядами. Однако правило для нахождения суммы членов произвольной арифметической прогрессии впервые встречается в «Книге абака» (1202) Леонардо Пизанского. В «Науке о числах» (1484) Н. Шюке, как и Архимед, сопоставляет арифметическую прогрессию с геометрической и даёт общее правило для суммирования любой бесконечно малой убывающей геометрической прогрессии. Формула для суммирования бесконечно убывающей прогрессии была известна П. Ферма и другим математикам XVII века.
Задачи на арифметические (и геометрические) прогрессии имеются и в древнекитайском тракте «Математика в девяти книгах», в котором нет, однако, указаний на применение какой-либо формулы суммирования.
Первые из дошедших до нас задач на прогрессии связаны с запросами хозяйственной жизни и общественной практики, как, например, распределение продуктов, деление наследства и т.д.
Из одной клинописной таблички можно заключить, что, наблюдая луну от новолуния до полнолуния, вавилоняне пришли к такому выводу: в первые пять дней после новолуния рост освещения лунного диска совершается по закону геометрической прогрессии со знаменателем 2. В другой более поздней табличке речь идёт о суммировании геометрической прогрессии:
1+2+
+…+
. решение и ответ S=512+(512-1), данные в табличке наводят на мысль, что автор пользовался формулой.
Sn=
+(-1), однако о том, как он дошёл до нее никому не известно.
Суммированием геометрических прогрессий и составлением соответствующих, не всегда отвечающих практическим нуждам задач занимались многие любители математики на протяжении древних и средних веков.
Свойства числовых последовательностей
Числовая последовательность - частный случай числовой функции, а потому некоторые свойства функций (ограниченность, монотонность) рассматривают и для последовательностей.
Ограниченные последовательности
Последовательность () называется
ограниченной сверху
, что для любого номера n ,
M.
Последовательность () называется
ограниченной снизу
, если существует такое число m
, что для любого номера n ,
m.
Последовательность () называется
ограниченной
, если она ограниченная сверху и ограниченная снизу, то есть существует такое число M
0 , что для любого номера n ,
M.
Последовательность () называется
неограниченной
, если существует такое число M
0 , что существует такой номер n , что,
M.
Задача:
исследовать последовательность
=
на ограниченность.
Решение. Заданная последовательность является ограниченной, так как для любого натурального номера n выполняются неравенства:
0
1,
То есть последовательность является ограниченной снизу нулем, и вместе с тем является ограниченной сверху единицей, а значит, является и ограниченной.
Ответ: последовательность ограничена - снизу нулем, а сверху единицей.
Возрастающие и убывающие последовательности
Последовательность () называют
возрастающей
, если каждый ее член больше предыдущего:
Например, 1, 3, 5, 7.....2n -1,... - возрастающая последовательность.
Последовательность () называют
убывающей
, если каждый ее член меньше предыдущего:
Например, 1;
- убывающая последовательность.
Возрастающие и убывающие последовательности объединяют общим термином -
монотонные последовательности
. Приведем еще несколько примеров.
1; -
эта последовательность не является ни возрастающей, ни убывающей (немонотонная последовательность).
2n. Речь идет о последовательности 2, 4, 8, 16, 32, ... - возрастающая последовательность.
Вообще, если a > 1, то последовательность
=
возрастает;
если 0 =
убывает.
Арифметическая прогрессия
Числовую последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен сумме предыдущего члена и одного и того же числа d, называют
арифметической прогрессией
, а число d – разностью арифметической прогрессии.
Таким образом, арифметическая прогрессия – это числовая последовательность
X,
= =
+ d, (n = 2, 3, 4, …; a и d – заданные числа).
Пример 1. 1, 3, 5, 7, 9, 11, … – возрастающая арифметическая прогрессия, у которой
= 1, d = 2.
Пример 2. 20, 17, 14, 11, 8, 5, 2, –1, –4,… – убывающая арифметическая прогрессия, у которой
= 20, d = –3.
Пример 3. Рассмотрим последовательность натуральных чисел, которые при делении на четыре дают в остатке 1: 1; 5; 9; 13; 17; 21 …
Каждый её член, начиная со второго, получается прибавлением к предыдущему члену числа 4. Эта последовательность является примером арифметической прогрессии.
Нетрудно найти явное (формульное) выражение
через n. Величина очередного элемента возрастает на d по сравнению с предыдущим, таким образом, величина n элемента возрастет на величину (n – 1)d по сравнению с первым членом арифметической прогрессии, т.е.
=
+ d (n – 1). Это формула n-го члена арифметической прогрессии.
Это формула
суммы
n членов арифметической прогрессии.
Арифметической прогрессия названа потому, что в ней каждый член, кроме первого, равен среднему арифметическому двух соседних с ним – предыдущего и последующего, действительно,
Геометрическая прогрессия
Числовую последовательность, все члены которой отличны от нуля и каждый член которой, начиная со второго, получается из предыдущего члена умножением на одно и то же число q, называют
геометрической прогрессией
, а число q – знаменателем геометрической прогрессии. Таким образом, геометрическая прогрессия – это числовая последовательность ( заданная рекуррентно соотношениями
B,
=
q (n = 2, 3, 4…; b и q – заданные числа).
Пример 1. 2, 6, 18, 54, … – возрастающая геометрическая прогрессия
2, q = 3.
Пример 2. 2, –2, 2, –2, … – геометрическая прогрессия
= 2, q = –1.
Одно из очевидных свойств геометрической прогрессии состоит в том, что если последовательность является геометрической прогрессией, то и последовательность квадратов, т.е.
;
;…-
является геометрической прогрессией, первый член которой равен
, а знаменатель –
.
Формула n-го члена геометрической прогрессии имеет вид:
Формула суммы n членов геометрической прогрессии:
Характеристическое свойство
геометрической прогрессии: числовая последовательность является геометрической прогрессией тогда и только тогда, когда квадрат каждого ее члена, кроме первого (и последнего в случае конечной последовательности), равен произведению предыдущего и последующего членов,
Заключение
Изучением числовых последовательностей занимались многие ученые на протяжении многих веков.
Первые из дошедших до нас задач на прогрессии связаны с запросами хозяйственной жизни и общественной практики, как, например, распределение продуктов, деление наследства и т.д. Они являются одним из ключевых понятий математики. В своей работе я постаралась отразить основные понятия, связанные с числовыми последовательностями, способы их задания, свойства, рассмотрела некоторые из них. Отдельно были рассмотрены прогрессии (арифметическая и геометрическая), рассказано об основных понятиях связанных с ними.
Список литературы
- А.Г. Мордкович, Алгебра, 10 класс, учебник, 2012г.
- А.Г. Мордкович, Алгебра, 9 класс, учебник, 2012г.
- Большой справочник школьника. Москва, «Дрофа», 2001г.
- Г.И. Глейзер, «История математики в школе»,
М.: Просвещение, 1964г.
- «Математика в школе», журнал, 2002г
.
- Образовательные онлайн сервисы Webmath.ru
- Универсальная научно-популярная онлайн-энциклопедия «Кругосвет»
Колыбель. Пелёнки. Плач.
Слово. Шаг. Простуда. Врач.
Беготня. Игрушки. Брат.
Двор. Качели. Детский сад.
Школа. Двойка. Тройка. Пять.
Мяч. Подножка. Гипс. Кровать.
Драка. Кровь. Разбитый нос.
Двор. Друзья. Тусовка. Форс.
Институт. Весна. Кусты.
Лето. Сессия. Хвосты.
Пиво. Водка. Джин со льдом.
Кофе. Сессия. Диплом.
Романтизм. Любовь. Звезда.
Руки. Губы. Ночь без сна.
Свадьба. Тёща. Тесть. Капкан.
Ссора. Клуб. Друзья. Стакан.
Дом. Работа. Дом. Семья.
Солнце. Лето. Снег. Зима.
Сын. Пелёнки. Колыбель.
Стресс. Любовница. Постель.
Бизнес. Деньги. План. Аврал.
Телевизор. Сериал.
Дача. Вишни. Кабачки.
Седина. Мигрень. Очки.
Внук. Пелёнки. Колыбель.
Стресс. Давление. Постель.
Сердце. Почки. Кости. Врач.
Речи. Гроб. Прощанье. Плач.
Жизненная последовательность
ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ - (sequence), числа или элементы, расположенные в организованном порядке. Последовательности могут быть конечными (имеющие ограниченное число элементов) или бесконечными, как полная последовательность натуральных чисел 1, 2, 3, 4 ….… …
Научно-технический энциклопедический словарь
Определение:
Числовой последовательностью
называют числовую , заданную на множестве N натуральных чисел.Для числовых последовательностей обычно вместо f(n)
пишут a n
и обозначают последовательность так: (a n
). Числа a
1
,
a
2
, …,
a n,…
называют элементами последовательности.
Обычно числовая последовательность определяется заданием n
-го элемента или рекуррентной формулой, по которой каждый следующий элемент определяется через предыдущий. Также возможен описательный способ задания числовой последовательности. Например:
- Все члены последовательности равны «1″
. Это значит, речь идет о стационарной последовательности 1, 1, 1, …, 1, ….
- Последовательность состоит из всех простых чисел в порядке возрастания.
Таким образом, задана последовательность 2, 3, 5, 7, 11, …. При таком способе задания последовательности в данном примере трудно ответить, чему равен, скажем, 1000-й элемент последовательности.
При рекуррентном способе указывают формулу, позволяющую выразить n
-й член последовательности через предыдущие, и задают 1–2 начальных члена последовательности.
- y
1 = 3; y n =
y
n-1
+ 4
, если n
= 2, 3, 4,…
Здесь y
1 = 3; y
2 = 3 + 4 = 7; y
3 = 7 + 4 = 11; ….
- y
1 = 1; y
2 = 1; y n
=y
n-2
+ y
n-1
, если n
= 3, 4,…
Здесь: y
1 = 1; y
2 = 1; y
3 = 1 + 1 = 2; y
4 = 1 + 2 = 3; y
5 = 2 + 3 = 5; y
6 = 3 + 5 = 8;
Последовательность, выраженная рекуррентной формулой y n =
y
n-1
+ 4
может быть задана и аналитически: y n
= y 1 +4*(n-1)
Проверим: y2=3+4*(2-1)=7, y3=3+4*(3-1)=11
Здесь нам не обязательно знать предыдущий член числовой последовательности для вычисления n-ного элемента, достаточно лишь задать его номер и значение первого элемента.
Как мы видим, этот способ задания числовой последовательности очень похож на аналитический способ задания функций. По сути, числовая последовательность является частным видом числовой функции, поэтому ряд свойств функций можно рассматривать и для последовательностей.
Числовые последовательности это очень интересная и познавательная тема. Эта тема встречается в заданиях повышенной сложности, которые предлагают учащимся авторы дидактических материалов, в задачах математических олимпиад, вступительных экзаменов в Высшие Учебные Заведения и на .
И если вы хотите более подробно изучить различные виды числовых последовательностей, жмем сюда. Ну а если вам и так все понятно и просто, но попробуйте ответить на .
Приводится определение числовой последовательности. Рассмотрены примеры неограниченно возрастающих, сходящихся и расходящихся последовательностей. Рассмотрена последовательность, содержащая все рациональные числа.
Определение
.
Числовой последовательностью {
x n }
называется закон (правило), согласно которому, каждому натуральному числу n = 1, 2, 3, . . .
ставится в соответствие некоторое число x n
.
Элемент x n
называют n-м членом или элементом последовательности.
Последовательность обозначается в виде n
-го члена, заключенного в фигурные скобки: .
Также возможны следующие обозначения: .
В них явно указывается, что индекс n
принадлежит множеству натуральных чисел и сама последовательность имеет бесконечное число членов. Вот несколько примеров последовательностей:
,
,
.
Другими словами числовая последовательность - это функция, областью определения которой является множество натуральных чисел. Число элементов последовательности бесконечно. Среди элементов могут встречаться и члены, имеющие одинаковые значения. Также последовательность можно рассматривать как нумерованное множество чисел, состоящее из бесконечного числа членов.
Главным образом нас будет интересовать вопрос - как ведут себя последовательности, при n
стремящемся к бесконечности: .
Этот материал излагается в разделе Предел последовательности – основные теоремы и свойства . А здесь мы рассмотрим несколько примеров последовательностей.
Примеры последовательностей
Примеры неограниченно возрастающих последовательностей
Рассмотрим последовательность .
Общий член этой последовательности .
Выпишем несколько первых членов:
.
Видно, что с ростом номера n
,
элементы неограниченно возрастают в сторону положительных значений. Можно сказать, что эта последовательность стремится к :
при .
Теперь рассмотрим последовательность с общим членом .
Вот ее несколько первых членов:
.
С ростом номера n
,
элементы этой последовательности неограниченно возрастают по абсолютной величине, но не имеют постоянного знака. То есть эта последовательность стремится к :
при .
Примеры последовательностей, сходящихся к конечному числу
Рассмотрим последовательность .
Ее общий член .
Первые члены имеют следующий вид:
.
Видно, что с ростом номера n
,
элементы этой последовательности приближаются к своему предельному значению a = 0
:
при .
Так что каждый последующий член ближе к нулю, чем предыдущий. В каком-то смысле можно считать, что есть приближенное значение для числа a = 0
с погрешностью .
Ясно, что с ростом n
эта погрешность стремится к нулю, то есть выбором n
,
погрешность можно сделать сколь угодно малой. Причем для любой заданной погрешности ε > 0
можно указать такой номер N
,
что для всех элементов с номерами большими чем N
:
,
отклонение числа от предельного значения a
не превзойдет погрешности ε
:
.
Далее рассмотрим последовательность .
Ее общий член .
Вот несколько ее первых членов:
.
В этой последовательности члены с четными номерами равны нулю. Члены с нечетными n
равны .
Поэтому, с ростом n
,
их величины приближаются к предельному значению a = 0
.
Это следует также из того, что
.
Также как и в предыдущем примере, мы можем указать сколь угодно малую погрешность ε > 0
,
для которой можно найти такой номер N
,
что элементы, с номерами большими чем N
,
будут отклоняться от предельного значения a = 0
на величину, не превышающую заданной погрешности. Поэтому эта последовательность сходится к значению a = 0
:
при .
Примеры расходящихся последовательностей
Рассмотрим последовательность со следующим общим членом:
Вот ее первые члены:
.
Видно, что члены с четными номерами:
,
сходятся к значению a 1 = 0
.
Члены с нечетными номерами:
,
сходятся к значению a 2 = 2
.
Сама же последовательность, с ростом n
,
не сходится ни к какому значению.
Последовательность с членами, распределенными в интервале (0;1)
Теперь рассмотрим более интересную последовательность. На числовой прямой возьмем отрезок . Поделим его пополам. Получим два отрезка. Пусть
.
Каждый из отрезков снова поделим пополам. Получим четыре отрезка. Пусть
.
Каждый отрезок снова поделим пополам. Возьмем
.
И так далее.
В результате получим последовательность, элементы которой распределены в открытом интервале (0; 1)
.
Какую бы мы ни взяли точку из закрытого интервала
,
мы всегда можем найти члены последовательности, которые окажутся сколь угодно близко к этой точке, или совпадают с ней.
Тогда из исходной последовательности можно выделить такую подпоследовательность, которая будет сходиться к произвольной точке из интервала
.
То есть с ростом номера n
,
члены подпоследовательности будут все ближе подходить к наперед выбранной точке.
Например, для точки a = 0
можно выбрать следующую подпоследовательность:
.
= 0
.
Для точки a = 1
выберем такую подпоследовательность:
.
Члены этой подпоследовательности сходятся к значению a = 1
.
Поскольку существуют подпоследовательности, сходящиеся к различным значениям, то сама исходная последовательность не сходится ни к какому числу.
Последовательность, содержащая все рациональные числа
Теперь построим последовательность, которая содержит все рациональные числа. Причем каждое рациональное число будет входить в такую последовательность бесконечное число раз.
Рациональное число r
можно представить в следующем виде:
,
где - целое; - натуральное.
Нам нужно каждому натуральному числу n
поставить в соответствие пару чисел p
и q
так, чтобы любая пара p
и q
входила в нашу последовательность.
Для этого на плоскости проводим оси p
и q
.
Проводим линии сетки через целые значения p
и q
.
Тогда каждый узел этой сетки с будет соответствовать рациональному числу. Все множество рациональных чисел будет представлено множеством узлов. Нам нужно найти способ пронумеровать все узлы, чтобы не пропустить ни один узел. Это легко сделать, если нумеровать узлы по квадратам, центры которых расположены в точке (0; 0)
(см. рисунок). При этом нижние части квадратов с q < 1
нам не нужны. Поэтому они не отображены на рисунке.
Итак, для верхней стороны первого квадрата имеем:
.
Далее нумеруем верхнюю часть следующего квадрата:
.
Нумеруем верхнюю часть следующего квадрата:
.
И так далее.
Таким способом мы получаем последовательность, содержащую все рациональные числа. Можно заметить, что любое рациональное число входит в эту последовательность бесконечное число раз. Действительно, наряду с узлом ,
в эту последовательность также будут входить узлы ,
где - натуральное число. Но все эти узлы соответствуют одному и тому же рациональному числу .
Тогда из построенной нами последовательности, мы можем выделить подпоследовательность (имеющую бесконечное число элементов), все элементы которой равны наперед заданному рациональному числу. Поскольку построенная нами последовательность имеет подпоследовательности, сходящиеся к различным числам, то последовательность не сходится ни к какому числу.
Заключение
Здесь мы дали точное определение числовой последовательности. Также мы затронули вопрос о ее сходимости, основываясь на интуитивных представлениях. Точное определение сходимости рассматривается на странице Определение предела последовательности . Связанные с этим свойства и теоремы изложены на странице
