Для выражения всех элементов рассуждения служат различные средства языка. Понятия выражаются посредством отдельных слов или словосочетаний, суждения и умозаключения - с помощью простых или сложных предложений. Поэтому логический анализ рассуждений тесно связан с анализом языка, хотя отнюдь не сводится к последнему. Действительно, при логическом анализе суждений мы интересуемся его логической структурой, а не грамматической формой. Поэтому выделяем в суждении те элементы, которые имеют существенное значение для его характеристики с точки зрения истинности и ложности. В строгом смысле слова только суждения могут рассматриваться как истинные или ложные, ибо именно они могут верно или неверно, адекватно или неадекватно относиться к действительности. Предложения же хотя и используются для выражения суждений, сами по себе не могут рассматриваться как истинные или ложные. Более того, существуют в нашем языке такие предложения, которые служат не для выражения суждений, а представляют собой вопросы, повеления и т.п. Почему так важен логический анализ, какую роль он играет в повседневном и особенно научном познании?
Поскольку язык развивался как средство коммуникации и взаимопонимания между людьми, постольку он главным образом совершенствовался для быстрой передачи информации, увеличения объема передаваемых сообщений, иногда даже за счет неточности и неопределенности их смысла. Это особенно характерно для образного языка ораторской и художественной речи, которая изобилует сравнениями, метафорами, синонимами и омонимами; и другими языковыми средствами, придающими ей особую окраску, эмоциональность, наглядность и выразительность. Но все это значительно затрудняет логический анализ языка, а иногда и затрудняет понимание речи.
Как универсальное средство для коммуникации и обмена мыслями и информацией, язык выполняет множество функций, которые не интересуют логику. Логика, напротив, стремится как можно точнее передать и преобразовать существующую информацию и тем самым устранить некоторые недостатки естественного языка путем создания искусственных формализованных языков. Такие искусственные языки используются, прежде всего, в научном познании, а в последние годы они нашли широкое распространение в программировании и алгоритмизации различных процессов с помощью компьютеров. Достоинство подобных языков состоит прежде всего в их точности, однозначности, а самое главное - в возможности представления обычного содержательного рассуждения посредством вычисления.
Формализация рассуждения состоит в представлении его посредством символов и формул искусственного (формализованного) языка, в котором перечисляются, во-первых, исходные формулы, выражающие основные утверждения содержательной теории, во-вторых, первоначальные понятия, которые фигурируют в этих утверждениях, и, в-третьих, явно указываются те правила вывода или преобразования, с помощью которых в содержательных теориях получают теоремы из аксиом, а в формальных теориях исходные формулы преобразуют в производные. Нетрудно заметить, что формализация рассуждения происходит в соответствии с требованиями аксиоматического метода, знакомого нам из школьного курса геометрии. Разница состоит только в том, что вместо понятий и суждений в ней используются символы и формулы, а логический вывод теорем из аксиом заменяется преобразованием исходных формул в производные. Таким образом, при полной формализации содержательное мышление (рассуждение) его отображается в формальном исчислении. Кроме формализованных языков логики и математики, к искусственным научным языкам относят также языки тех наук, в которых широко используются символы и формулы. Типичным является, например, язык химических символов и формул. Однако в таких языках символы и формулы служат для более компактной и краткой записи соответствующих понятий и утверждений. Так, в химии символы употребляются для записи химических элементов или простых веществ, а формулы - для записи их соединений и сложных веществ. Но само рассуждение проводится как обычно на содержательном уровне.
Какую роль играет формализация в научном познании вообще и в логике в особенности?
1) Формализация дает возможность анализировать, уточнять, определять и эксплицировать (разъяснять) понятия. Интуитивные понятия, хотя и кажутся более ясными и очевидными с точки зрения здравого смысла, оказываются не подходящими для научного познания в силу их неопределенности, неоднозначности и неточности. Так, например, понятия непрерывности функции, геометрической фигуры в математике, одновременности событий в физике, наследственности в биологии и многие другие существенно отличаются от тех представлений, которые они имеют в обыденном сознании. Кроме того, некоторые исходные понятия обозначаются в науке теми же словами, которые употребляются в разговорном языке для выражения совершенно других вещей и процессов.
Такие основополагающие понятия физики, как сила, работа и энергия, отображают вполне определенные и точно указанные процессы: например сила рассматривается в физике как причина изменения скорости движущегося тела, а работа - как произведение силы на путь. В разговорной речи им придается более широкий, но неопределенный смысл, вследствие чего физическое понятие, например работы, неприменимо к характеристике умственной деятельности. Но даже в науке смысл и значение вводимых понятий со временем изменяется, уточняется и обобщается.
Формализация приобретает особую роль при анализе доказательств. Представление доказательства в виде последовательности формул, получаемых из исходных с помощью точно указанных правил преобразования, придает ему необходимую строгость и точность. При таком подходе исключаются ссылки на интуицию, очевидность или наглядность чертежа, так что при соответствующей программе доказательство можно передать вычислительной машине. О том, какое значение имеет строгость доказательства, свидетельствует история попыток доказательства аксиомы о параллельных в геометрии, когда вместо такого доказательства сама аксиома заменялась эквивалентным утверждением. Именно неудача подобных попыток заставила Н.И. Лобачевского мри тать невозможным такое доказательство.
3).Формализация, основанная на построении искусственных логических языков, служит теоретическим фундаментом для процессов алгоритмизации и программирования вычислительных устройств, а тем самым и компьютеризации не только научно-технического, но и другого знания.
Следовательно, формализация предполагает содержательный логический анализ тех способов рассуждения, посредством которых получаются одни утверждения из других, но сами утверждения, представляющие по своей структуре суждения, в свою очередь состоят из понятий. Поэтому мы начнем изучение логики с анализа понятий.
Необходимая связь мышления и языка, при которой язык выступает материальной оболочкой мыслей, означает, что выявление логических структур возможно лишь путем анализа языковых выражений. Подобно тому, как к ядру ореха можно добраться лишь вскрыв его скорлупу, так и логические формы могут быть выявлены лишь, путем анализа языка.
В целях овладения логико-языковым анализом рассмотрим кратко структуру и функции языка, соотношение логических и грамматических категорий, а также принципы построения особого языка логики.
Язык - это знаковая информационная система, выполняющая функцию формирования, хранения и передачи информации в процессе познания действительности и общения между людьми.
Основным строительным материалом при конструировании языка выступают используемые в нем знаки. Знак - это любой чувственно воспринимаемый (зрительно, на слух или иным способом) предмет, выступающий представителем другого предмета. Среди различных знаков выделим два вида: знаки-образы и знаки-символы.
Знаки-образы имеют определенное сходство с обозначаемыми предметами. Примеры таких знаков: копии документов; дактилоскопические отпечатки пальцев; фотоснимки; некоторые дорожные знаки с изображением детей, пешеходов и других объектов. Знаки-символы не имеют сходства с обозначаемыми предметами. Например: нотные знаки; знаки азбуки Морзе; буквы в алфавитах национальных языков.
Множество исходных знаков языка составляет его алфавит.
Комплексное изучение языка осуществляется общей теорией знаковых систем - семиотикой, которая анализирует язык в трех аспектах: синтаксическом, семантическом и прагматическом.
Синтаксис - это раздел семиотики, изучающий структуру языка: способы образования, преобразования и связи между знаками. Семантика занимается проблемой интерпретации, т.е. анализом отношений между знаками и обозначаемыми объектами. Прагматика анализирует коммуникативную функцию языка - эмоциональные, психологические, эстетические, экономические и другие отношения носителя языка к самому языку. язык имя логический мышление
По происхождению языки бывают естественные и искусственные.
Естественные языки - это исторически сложившиеся в обществе звуковые (речь), а затем и графические (письмо) информационные знаковые системы. Они возникли для закрепления и передачи накопленной информации в процессе общения между людьми. Естественные языки выступают носителями многовековой культуры народов. Они отличаются богатыми выразительными возможностями и универсальным охватом самых различных областей жизни.
Искусственные языки - это вспомогательные знаковые системы, создаваемые на базе естественных языков для точной и экономной передачи научной и другой информации. Они конструируются с помощью естественного языка или ранее построенного искусственного языка. Язык, выступающий средством построения или изучения другого языка, называют метаязыком, основной - языком-объектом. Метаязык, как правило, обладает более богатыми по сравнению с языком-объектом выразительными возможностями.
Искусственные языки различной степени строгости широко используются в современной науке и технике: химии, математике, теоретической физике, вычислительной технике, кибернетике, связи, стенографии.
Особую группу составляют смешанные языки, базой в которых выступает естественный (национальный) язык, дополняемый символикой и условными обозначениями, относящимися к конкретной предметной области. К этой группе можно отнести язык, условно называемый «юридическим языком», или «языком права». Он строится на базе естественного (в нашем случае русского) языка, а также включает множество правовых понятий и дефиниций, правовых презумпций и допущений, правил доказательства и опровержения. Исходной клеточкой этого языка выступают нормы права, объединяемые в сложные нормативно-правовые системы.
Искусственные языки успешно используются и логикой для точного теоретического и практического анализа мыслительных структур.
Один из таких языков - язык логики высказываний. Он применяется в логической системе, называемой исчислением высказываний, которая анализирует рассуждения, опираясь на истинностные характеристики логических связок и отвлекаясь от внутренней структуры суждений. Принципы построения этого языка будут изложены в главе о дедуктивных умозаключениях.
Второй язык - это язык логики предикатов. Он применяется в логической системе, называемой исчислением предикатов, которая при анализе рассуждений учитывает не только истинностные характеристики логических связок, но и внутреннюю структуру суждений. Рассмотрим кратко состав и структуру этого языка, отдельные элементы которого будут использованы в процессе содержательного изложения курса.
Предназначенный для логического анализа рассуждений, язык логики предикатов структурно отражает и точно следует за смысловыми характеристиками естественного языка. Основной смысловой (семантической) категорией языка логики предикатов является понятие имени.
Имя - это имеющее определенный смысл языковое выражение в виде отдельного слова или словосочетания, обозначающее или именующее какой-либо внеязыковой объект. Имя как языковая категория имеет таким образом две обязательные характеристики или значения: предметное значение и смысловое значение.
Предметное значение (денотат) имени - это один или множество каких-либо объектов, которые этим именем обозначаются. Например, денотатом имени «дом» в русском языке будет все многообразие сооружений, которые этим именем обозначаются: деревянные, кирпичные, каменные; одноэтажные и многоэтажные и т.д.
Смысловое значение (смысл, или концепт) имени - это информация о предметах, т.е. присущие им свойства, с помощью которых выделяют множество предметов. В приведенном примере смыслом слова «дом» будут следующие характеристики любого дома: 1) это сооружение (здание), 2) построено человеком, 3) предназначено для жилья.
Отношение между именем, смыслом и денотатом (объектом) можно представить следующей семантической схемой:
Это значит, что имя денотирует, т.е. обозначает объекты только через смысл, а не непосредственно. Языковое выражение, не имеющее смысла, не может быть именем, поскольку оно не осмысленно, а значит и не опредмечено, т.е. не имеет денотата.
Типы имен языка логики предикатов, определяемые спецификой объектов именования и представляющие собою его основные семантические категории, это имена: 1) предметов, 2) признаков и 3) предложений.
Имена предметов обозначают единичные предметы, явления, события иди их множества. Объектом исследования в этом случае могут быть как материальные (самолет, молния, сосна), так и идеальные (воля, правоспособность, мечта) предметы.
По составу различают имена простые, которые не включают других имен (государство), и сложные, включающие другие имена (спутник Земли). По денотату имена бывают единичные и общие. Единичное имя обозначает один объект и бывает представлено в языке именем собственным (Аристотель) или дается описательно (самая большая река в Европе). Общее имя обозначает множество, состоящее более чем из одного объекта; в языке оно бывает представлено нарицательным именем (закон) либо дается описательно (большой деревянный дом).
Имена признаков - качеств, свойств или отношений - называются предикаторами. В предложении они обычно выполняют роль сказуемого (например, «быть синим», «бегать», «дарить», «любить» и т.д.). Число имен предметов, к которым относится предикатор, называется его местностью. Предикаторы, выражающие свойства, присущие отдельным предметам, называются одноместными (например, «небо синее»). Предикаторы, выражающие отношения между двумя и более предметами, называются многоместными. Например, предикатор «любить» относится к двухместным («Мария любит Петра»), а предикатор «дарить» - к трехместным («Отец дарит книгу сыну»).
Предложения - это имена для выражений языка, в которых нечто утверждается или отрицается. По своему логическому значению они выражают истину либо ложь.
Алфавит языка логики предикатов включает следующие виды знаков (символов):
- 1) а, b, с,... - символы для единичных (собственных или описательных) имен предметов; их называют предметными постоянными, или константами;
- 2) х, y, z, ... - символы общих имен предметов, принимающие значения в той или другой области; их называют предметными переменными;
- 3) Р 1 ,Q 1 , R 1 ,... - символы для предикатов, индексы над которыми выражают их местность; их называют предикатными переменными;
- 4) р, q, r, ... - символы для высказываний, которые называют высказывательными, или пропозициональными переменными (от латинского рropositio - «высказывание»);
- 5) - символы для количественной характеристики высказываний; их называют кванторами: -- квантор общности; он символизирует выражения -- все, каждый, всякий, всегда и т.п.; -- квантор существования; он символизирует выражения -- некоторый, иногда, бывает, встречается, существует и т.п.;
- 6) логические связки:
- - конъюнкция (союз «и»);
- - дизъюнкция (союз «или»);
- - импликация (союз «если..., то...»);
- - эквиваленция, или двойная импликация (союз «если и только если..., то...»);
- - отрицание («неверно, что...»).
Технические знаки языка: (,) - левая и правая скобки.
Других знаков данный алфавит не включает. Допустимые, т.е. имеющие смысл в языке логики предикатов выражения называются правильно построенными формулами - ППФ. Понятие ППФ вводится следующими определениями:
- 1. Всякая пропозициональная переменная -- р, q, r, ... есть ППФ.
- 2. Всякая предикатная переменная, взятая с последовательностью предметных переменных или констант, число которых соответствует ее местности, является ППФ: А 1 (х), А 2 (х, у), А 3 (х, у, z), А" (х, у,..., n), где А 1 , А 2 , А 3 ,..., А n - знаки метаязыка для предикаторов.
- 3. Для всякой формулы с предметными переменными, в которой любая из переменных связывается квантором, выражения хА (х) и хА(х) также будут ППФ.
- 4. Если А и В - формулы (А и В - знаки метаязыка для выражения схем формул), то выражения:
также являются формулами.
5. Любые иные выражения, помимо предусмотренных в п. 1-4, не являются ППФ данного языка.
Математика характерно широкое использование символики, которая, до сути, является аппаратом формальной логики. Формальная, или символическая, логика - это специальный метод познания структуры мышления. Такой разработанный аппарат используют везде. В математике многие важные положения удается записывать в виде символов. Запись логических рассуждений в символах придает доказательствам более краткий, простой вид. Формальная логика оперирует высказываниями (из них, кстати, состоит и наша речь). Высказыванием называют предложение, относительно которого имеет смысл утверждать, что оно истинно или ложно. Пример 1.3. „Москва - столица России**, „Петров И.И. - студент МГТУ ", х2+у2 = 1, х € R - высказывания; х2 -2х + + У2 - не является высказыванием. # Соединяя простые высказывания словами „и", „или", „не", „если..., то", мы получаем более сложные высказывания, которые определяют нашу речь. В математике эти слова называют логическими связками, в формальной логике они соответствуют основным логическим символам, на которых мы кратко и остановимся. 1. Конъюнкцией pAq высказываний р и q называют высказывание, которое истинно тогда и только тогда, когда оба высказывания (и р, и q) истинны. Логический симвЪл конъюнкции А заменяет в речи союз „и". Конъюнкцию обозначают также р & q. 2. Дизъюнкцией pW q высказываний р и q называют высказывание, которое ложно в том и только в том случае, когда оба высказывания ложны, а истинно, когда хотя бы одно из них (р или q) истинно. Логический символ дизъюнкции V в речи заменяет слово „или". 3. Импликацией р => q высказываний р и q называют высказывание, которое ложно тогда и только тогда, когда р истинно, a q - ложно. Логический символ импликации => используют при указании на последствия некоторого факта. Он заменяет слова „если..., то". Можно также читать „р влечет qu. 4. Логический символ эквиваленции & означает, что высказывание р q истинно тогда и только тогда, когда оба высказывания р и q истинны или оба высказывания ложны. Этот символ заменяет в речи слово „равносильно". 5. Отрицанием высказывания р называют высказывание -»р, которое истинно, если р ложно, и ложно, когда р истинно. Логический символ -» в речи заменяет слово „не". Для сокращения и уточнения записи высказываний вводят два знака V и 3, называемых соотвеНекоторые основные логические символы. Формальная, или символическая, логика. тственно кванторами общности и существования. Выражение „для всякого элемента х множества Еи записывают в виде Vs 6 Е. Эта запись означает, что утверждение, следующее за ней, будет выполнено для произвольного элемента множества Е. Запись V&i, «2» хп€Е означает: „каковы бы ни были элементы xi, 32, хп множества Еи. Выражение „существует по крайней мере один элемент множества Е, такой, что..." заг писывают Зх £ Е: ... Все, что следует за этой записью, выпол- дается хотя бы для одного элемента множества Е. Наоборот, $х е Е: ... означает, что все следующее далее не выполняется ни для одного элемента из Е. Выражение „ существует один и только один элемент из Е, такой, что...u записывают в виде Э!ж € Е: ... Запись Зх\} хз, хп € Е: ... означает: ясуществуют такие элементы х\у а?2» » я» множества Е, что...ц. Введенными символами удобно пользоваться, например, при определении операций над множествами. Так, AUB:<*{х: (х € А) V (х € В)}, АПВ:*>{х: {х € А) Л (ж € В)}, А\В:*>{х: {х € А) Л (х g В)}, А:<${х: (ж €Й)Л(х£ Л)}, где символ означает эквивалентность по определению. Связь теории множеств и формальной логики достаточно широка. Исследованием этой связи впервые занимался английский математик Джордж Буль (1815-1864), работы которого положили начало одному из важнейших направлений современной алгебры, называемому булевой алгеброй. Ясно, что взятие дополнения тесно связано с отрицанием высказывания, операции объединены и пересечения множеств - с дизъюнкцией и конъюнкцией высказываний соответственно, включение подмножества в множество - с импликацией, а равенство множеств - с эквиваленцией высказываний. В силу этой связи с помощью теории множеств можно решать некоторые логические задачи. Пример 1.4. Рассмотрим набор высказываний: 1) животные, которых не видно в темноте, серы; 2) соседи не любят тех, кто не дает им спать; 3) кто кредко спит, громко храпит; 4) соседи любят животных, которых видно в темноте; 5) все слоны крепко спят; 6) кто громко храпит, не дает спать соседям. Эти высказывания можно перевести на язык теории множеств, если ввести следующие обозначения: А - множество тех, кто будит соседей; В - множество тех, кто крепко спит; С - множество тех, кто громко храпит; D - множество животных, которых видно в темноте; Е - множество слонов; F - множество тех, кого любят соседи; G - множество тех, кто серые. Высказывание 1) означает, что элементы, не лежащие в D) содержатся в G, т.е. 1) D С G. Остальные высказывания принимают вид: 2) Л С F; 3) £ С С; 4) D С F; 5) Е С В; б)ССЛ. Взяв дополнения множеств D и F, из 4) согласно принципу двойственности получим F С D и затем соединим все выскаг зывания в цепочку ECCCACFCDCG. Из этой цепочки (с учетом свойства транзитивности символа включения) следует, что ECGy т.е. все слоны серы. # Рассмотренные логические символы и кванторы существования и общности широко используют математики для записи предложений, в которых они, по сути, воплощают плоды своего творчества. Эти предложения представляют собой устанавливающие свойства математических объектов теоремы, леммы, утверждения и следствия из них, а также различные формулы. Однако следует отметить, что часть предложений приходится все же выражать словами. Любая теорема состоит, вообще говоря, в задании некоторого свойства Л, называемого условием, из которого выводят свойство Ву называемое заключением. Коротко теорему пА влечет Ви записывают в виде А В и говорят, что А является достаточным условием для Б, а Б - необходимым условием для А. Тогда обратная теорема имеет вид В А (возможна запись при помощи обратной импликации А <= В), но справедливость прямой теоремы еще не гарантирует справедливости обратной ей теоремы. Если справедливы данная тедрема и обратная ей, то свойства А я В эквивалентны, и такую теорему можно записать в виде А о В. Эта запись соответствует фразам: „Для того, чтобы Л, необходимо и достаточно, чтобы В", „А тогда и только тогда, когда Ви или „А, если и только если Ви. Ясно, что в этих фразах А и В можно поменять местами. Утверждение, противоположное утверждению А} записывают -^Л, что соответствует словам „не Аи. Если в символьную запись утверждения А входят кванторы 3, V и условие Р, то при построении символьной записи противоположного утверждения -*А квантор 3 заменяют на V, квантор V - на 3, а условие Р заменяют на условие -»Р. Пример 1.6. Рассмотрим утверждение Зх € Е: Р (существует элемент х множества Е, обладающий свойством Р) и построим его отрицание. Если это утверждение неверно, то указанного элемента не существует, т.е. для каждого х € Е свойство Р не выполняется, или -.(За: 6 Е: Р) = Vx € Е: -.Р. Теперь построим отрицание утверждения Vx 6 Е: Р (для каждого элемента х множества Е имеет место свойство Р). Если данное утверждение неверно, то свойство Р имеет место не для каждого элемента указанного множества, т.е. существует хотя бы один элемент х € Е, не обладающий этим свойством, или -.(УхбЕ: Р) = Зх€Я: -чР. # Доказательство предложения представляет собой проводимое по определенным правилам рассуждение, в котором для обоснования сформулированного предложения используют определения, аксиомы и ранее доказанные предложения. Примеры доказательств свойств абсолютных значений действительных чисел приведены доше (см. 1.3), а первого из соотношений свойства дистрибутивности операций объединения и пересечения и первого из законов де Моргана (1.7) - в 1.4. Одним из используемых приемов является метод доказательства от противного. Для доказательства таким методом теоремы А => В предполагают, что верно -«В. Если рассуждения приводят к тому, что при таком предположении условие А невыполнимо, т.е. возникает противоречие, то теорему считают доказанной. Пример 1.6. Используем метод доказательства от противного, чтобы убедиться в справедливости второго закона де Моргана (1.7) AC\B = AUB. Если это равенство верно, то каждый элемент х € А П В должен принадлежать и A U В, т.е. х € A U В. Предположим противное: s £ AUB. Тогда по принципу двойственности (см. 1.4) х € АПВ, т.е. х ^ АПВ, а это противоречит исходному условию х € А П В, что доказывает справедливость импликации высказываний х€ АГ\В=>хе лив. Наоборот, каждый элемент х 6 A U В должен принадлежать и Л Г) В, т.е. х € А О В. Снова предположим противное: х £ i АП В, т.е. х £ АП В, или (хбА)Л(хбВ). Тогда (х£А)Л Л (х £ В) и х £ AUB, а это опять противоречит принятому условию х £ A U В, что доказывает справедливость обратной импликации высказываний х€ АПВ«=х€ AUB. Некоторые основные логические символы. Формальная, или символическая, логика. В итоге справедливость второй формулы (1.7) доказана полностью. # При доказательстве предложений, справедливых для произвольного натурального числа п G N, иногда применяют метод математической индукции: непосредственной проверкой устанавливают справедливость предложения для нескольких первых значений п (n= 1, 2, ...), а затем предполагают, что оно верно для п = к} и если из этого предположения следует справедливость данного предложения для п = к -f 1, то его считают доказанным для всех п € N. Пример 1.7. Докажем справедливость формулы «П = «1 (1.8) для суммы первых п членов геометрической прогрессии 0|, a2 = aitf, a3 = alq2) an = aign_1 со знаменателем прогрессии q ^ 1. Ясно, что формула верна для п= 1 и п = 2. Предположим, что она верна и для п = к, т.е. Некоторые основные логические символы. Формальная, или символическая, логика. Если в (1.9) обозначить к +1 = п, то снова придем к (1.8), что доказывает справедливость этой формулы.
Именно она используется для вычисления логических операций. Рассмотрим ниже все самые элементарные логические операции в информатике. Ведь если задуматься, именно они используются при создании логики вычислительных машин и приборов.
Отрицание
Перед тем как начать подробно рассматривать конкретные примеры, перечислим основные логические операции в информатике:
- отрицание;
- сложение;
- умножение;
- следование;
- равенство.
Также перед началом изучения логических операций стоит сказать, что в информатике ложь обозначается "0", а правда "1".
Для каждого действия, как и в обычной математике, используются следующие знаки логических операций в информатике: ¬, v, &, ->.
Каждое действие возможно описать либо цифрами 1/0, либо просто логическими выражениями. Начнём рассмотрение математической логики с простейшей операции, использующей всего одну переменную.
Логическое отрицание - операция инверсии. Суть заключается в том, что если исходное выражение - истина, то результат инверсии - ложь. И наоборот, если исходное выражение - ложь, то результатом инверсии станет - правда.
При записи этого выражения используется следующее обозначение "¬A".
Приведём таблицу истинности - схему, которая показывает все возможные результаты операции при любых исходных данных.
То есть, если у нас исходное выражение - истина (1), то его отрицание будет ложным (0). А если исходное выражение - ложь (0), то его отрицание - истина (1).
Сложение
Оставшиеся операции требуют наличия двух переменных. Обозначим одно выражение -
А, второе - В. Логические операции в информатике, обозначающие действие сложения (или дизъюнкция), при написании обозначаются либо словом "или", либо значком "v". Распишем возможные варианты данных и результаты вычислений.
- Е=1, Н=1 ,тогда Е v Н = 1. Если оба тогда и их дизъюнкция также истинна.
- Е=0, Н=1 ,в итоге Е v Н = 1. Е=1, Н=0 , тогда Е v Н= 1. Если хотябы одно из выражений истинно, тогда и результат их сложения будет истиной.
- Е=0, Н=0 ,результат Е v Н = 0. Если оба выражения ложны, то их сумма также - ложь.
Для краткости создадим таблицу истинности.
| Е | х | х | о | о |
| Н | х | о | х | о |
| Е v Н | х | х | х | о |
Умножение
Разобравшись с операцией сложения, переходим к умножению (конъюнкции). Воспользуемся теми же обозначениями, которые были приведены выше для сложения. При письме логическое умножение обозначается значком "&", либо буквой "И".
- Е=1, Н=1 ,тогда Е & Н = 1. Если оба тогда их конъюнкция - истина.
- Если хотя бы одно из выражений - ложь, тогда результатом логического умножения также будет ложь.
- Е=1, Н=0, поэтому Е & Н = 0.
- Е=0, Н=1, тогда Е & Н = 0.
- Е=0, Н=0, итог Е & Н = 0.
| Е | х | х | 0 | 0 |
| Н | х | 0 | х | 0 |
| Е & Н | х | 0 | 0 | 0 |
Следствие
Логическая операция следования (импликация) - одна из простейших в математической логике. Она основана на единственной аксиоме - из правды не может следовать ложь.
- Е=1, Н=, поэтому Е -> Н = 1. Если пара влюблена, то они могут целоваться - правда.
- Е=0, Н=1, тогда Е -> Н = 1. Если пара не влюблена, то они могут целоваться - также может быть истиной.
- Е=0, Н=0, из этого Е -> Н = 1. Если пара не влюблена, то они и не целуются - тоже правда.
- Е=1, Н=0, результатом будет Е -> Н = 0. Если пара влюблена, то они не целуются - ложь.
Для облегчения выполнения математических действий также приведём таблицу истинности.
Равенство
Последней рассмотренной операцией станет логическое тождественное равенство или эквивалентность. В тексте оно может обозначаться как "...тогда и только тогда, когда...". Исходя из этой формулировки, напишем примеры для всех исходных вариантов.
- А=1, В=1, тогда А≡В = 1. Человек пьёт таблетки тогда и только тогда, когда болеет. (истина)
- А=0, В=0, в итоге А≡В = 1. Человек не пьёт таблетки тогда и только тогда, когда не болеет. (истина)
- А=1, В=0, поэтому А≡В = 0. Человек пьёт таблетки тогда и только тогда, когда не болеет. (ложь)
- А=0, В=1 ,тогда А≡В = 0. Человек не пьёт таблетки тогда и только тогда, когда болеет. (ложь)
Свойства
Итак, рассмотрев простейшие в информатике, можем приступить к изучению некоторых их свойств. Как и в математике, у логических операций существует свой порядок обработки. В больших логических выражениях операции в скобках выполняются в первую очередь. После них первым делом подсчитываем все значения отрицания в примере. Следующим шагом станет вычисление конъюнкции, а затем дизъюнкции. Только после этого выполняем операцию следствия и, наконец, эквивалентности. Рассмотрим небольшой пример для наглядности.
А v В & ¬В -> В ≡ А
Порядок выполнения действий следующий.
- В&(¬В)
- А v(В&(¬В))
- (А v(В&(¬В)))->В
- ((А v(В&(¬В)))->В)≡А
Для того чтобы решить этот пример, нам потребуется построить расширенную таблицу истинности. При её создании помните, что столбцы лучше располагать в том же порядке, в каком и будут выполняться действия.
| А | В | (А v(В&(¬В)))->В | ((А v(В&(¬В)))->В)≡А |
|||
| х | о | х | о | х | х | х |
| х | х | о | о | х | х | х |
| о | о | х | о | о | х | о |
| о | х | о | о | о | х | о |
Как мы видим, результатом решения примера станет последний столбец. Таблица истинности помогла решить задачу с любыми возможными исходными данными.
Заключение
В этой статье были рассмотрены некоторые понятия математической логики, такие как информатика, свойства логических операций, а также - что такое логические операции сами по себе. Были приведены некоторые простейшие примеры для решения задач по математической логике и таблицы истинности, необходимые для упрощения этого процесса.
⊃ может означать то же самое, что и ⇒ (символ может также обозначать надмножество).
⇒
{\displaystyle \Rightarrow }
→
{\displaystyle \to }
\to
⊃
{\displaystyle \supset }
⟹
{\displaystyle \implies }
\implies
U+003A U+229C
:
:=
{\displaystyle:=}
:=
≡
{\displaystyle \equiv }
⇔
{\displaystyle \Leftrightarrow }
- U+2310 ⌐ Отменённый НЕ
Следующие операторы редко поддерживаются стандартными фонтами. Если вы хотите использовать их на своей странице, вам следует всегда встраивать нужные фонты, чтобы браузер мог отражать символы без необходимости устанавливать фонты на компьютер.
Польша и Германия
В Польше квантор всеобщности иногда записывается как ∧ {\displaystyle \wedge } , а квантор существования как ∨ {\displaystyle \vee } . То же самое наблюдается в немецкой литературе.
В математике употребляются специальные символы, позволяющие сократить запись и точнее выразить утверждение.
Математические символы:
Например, применяя символ «> » к числам a, b, получим запись «a > b », которая является сокращением для предложения: «число a больше числа b ». Если – обозначения прямых, то запись есть утверждение, что параллельна . Запись «x M » означает, что x является элементом множества M .
Наряду с математической символикой в математике широко используется логическая символика, применяемая к высказываниям и предикатам .
Под высказыванием понимается предложение, которое либо только истинно, либо только ложно. Например, высказывание «–3 > 0» ложно, а высказывание «2 2 = 4» истинное. Будем высказывания обозначать большими латинскими буквами, возможно с индексами. Например, A = «–3 > 0», B = «2 2 = 4».
Предикат – это предложение с одной переменной или несколькими переменными. Например, предложение: «число x больше числа 0» (в символах x > 0) является предикатом от одной переменной x , а предложение: «a + b = c» – предикат от трех переменных a, b, c .
Предикат при конкретных значениях переменных становится высказыванием, принимая истинное и ложное значение.
Будем обозначать предикаты как функции: Q (x ) = «x > 0», F (x,b,c ) = «x + b = c ».
Логические символы:
.
1. Отрицание применяется к одному высказыванию или предикату, соответствует частице «не» и обозначается .
Например, формула есть сокращение для предложения: «–3 не больше 0» («неверно, что –3 больше 0»).
2. Конъюнкция применяется к двум высказываниям или предикатам, соответствует союзу «и», обозначается: А & B (или A B ).
Так формула (–3 > 0) & (2 2 = 4) означает предложение «–3 > 0 и 2 2 = 4», которое, очевидно, ложно.
3. Дизъюнкция применяется к двум высказываниям или предикатам, соответствует союзу «или» (неразделительному) и обозначается A B .
Предложение: «число x
принадлежит множеству или множеству » изображается формулой: 
.
4. Импликация соответствует союзу «если …, то …» и обозначается: A B .
Так, запись «a > –1 a > 0» есть сокращение для предложения «если a > –1, то a > 0».
5. Эквиваленция A B соответствует предложению: «A тогда и только тогда, когда B ».
Символы называются кванторами общности и существования , соответственно применяются к предикатам (а не к высказываниям). Квантор читается, как «любой», «каждый», «все», или с предлогом «для»: «для любого», «для всех» и т.д. Квантор читается: «существует», «найдется» и др.
Квантор общности применяется к предикату F (x, … ), содержащему одну переменную (например, x ) или несколько переменных, при этом получается формула
1. xF (x,… ), которая соответствует предложению: «для любого x выполняется F (x, … )» или «все x обладают свойством F (x, … )».
Например: x
(x
> 0) есть сокращение для фразы: «любое x
больше 0», которая является ложным высказыванием.
Предложение: a (a > 0 a > –1) является истинным высказыванием.
2. Квантор существования , примененный к предикату F (x,… ) соответствует предложению «существует x , такой, что F (x,… )» («найдется x , для которого F (x,… )») и обозначается: xF (x,… ).
Например, истинное высказывание «существует действительное число, квадрат которого равен 2» записывается формулой x (x R & x 2 = 2). Здесь квантор существования применен к предикату: F (x )= (x R & x 2 = 2) (напомним, что множество всех действительных чисел обозначается через R ).
Если квантор применяется к предикату с одной переменной, то получается высказывание, истинное или ложное. Если квантор применяется к предикату с двумя или большим числом переменных, то получается предикат, в котором переменных на одну меньше. Так, если предикат F (x, y ) содержит две переменные, то в предикате xF (x, y ) одна переменная y (переменная x является «связанной», вместо нее нельзя подставлять значения x ). К предикату xF (x, y ) можно применить квантор общности или существования по переменной y , тогда полученная формула xF (x, y ) или xF (x, y ) является высказыванием.
Так, предикат «| sinx| < a » содержит две переменные x, a . Предикат x (|sinx| < a ) зависит от одной переменной a , при этот предикат обращается в ложное высказывание (|sinx| < ), при а = 2 получаем истинное высказывание x (|sinx| < 2).
